匹克定律

编辑:喧闹网互动百科 时间:2020-03-29 11:37:38
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给定顶点坐标均是整环数字点(或正方形格点)的简单多边形,皮克定理说明了其面积A和内部格点数目i、边上格点数目b的关系:A = i + b/4 2 1。[1] 
中文名
匹克定律
外文名
PEAK's law
性    质
定律
属    性
匹克
所属类别
数学

匹克定律定律内容

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格点就是图中的实心点。a为图形内部的格点的个数,b为在边界上的格点的个数,m=1,n=1/2.[2] 

匹克定律证明

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因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P,及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式,则只要证明P加上TPT亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

匹克定律多边形

PT的共同边上有c个格点。
P的面积: iP + bP/2 - 1 T的面积: iT + bT/2 - 1 PT的面积: (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1 = iPT + bPT/2 - 1

匹克定律三角形

证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:
所有平行于轴线的矩形; 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形; 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。 [编辑] 矩形设矩形R长边短边各有m,n个格点:
AR = (m-1)(n-1) iR = (m-2)(n-2) bR = 2(m+n)-4 iR + bR/2 - 1 = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1) 直角三角形易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等,且i,b相等。设其斜边上有c个格点。
b = m+n+c-3 i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2

匹克定律推广

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取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点,皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点,皮克定理则是A = 2i + b - 2。 对于非简单的多边形P,皮克定理A = i + b/2 - χ(P),其中χ(P)表示P的欧拉特征数。 高维推广:Ehrhart多项式;一维:植树问题。 皮克定理和欧拉公式(V-E+F=2)等价

匹克定律解释

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一张方格纸上,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是所谓格点。
  如果取一个格点做原点O,如图1,取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY,并取原来方格边长做单位长,建立一个坐标系。这时前面所说的格点,显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故,我们又叫格点为整点。
  一个多边形的顶点如果全是格点,这多边形就叫做格点多边形。有趣的是,这种格点多边形的面积计算起来很方便,只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目,就可用公式算出。 [1] 
参考资料
词条标签:
自然学科 科技 理学